Geometric flow
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数学 、特に微分幾何学では、 幾何学的フローは、通常、いくつかの外的または内的曲率に関連付けられた幾何学的解釈を持つ多様体上の汎関数に関連付けられた勾配流です。 それらは、 モジュライ空間 （固有フローの場合）またはパラメーター空間 （外部フローの場合）のフローとして解釈できます。
これらは、 変数の計算において基本的に重要であり、いくつかの有名な問題と理論が含まれています。 特に興味深いのは、その特異点です。
幾何学的フローは、 幾何学的発展方程式とも呼ばれます。
例[編集]
外因性[編集]
外部幾何学的フローは、 埋め込まれた部分多様体 、またはより一般的にははめ込まれた部分多様体上のフローです。 一般に、それらはリーマン計量とはめ込みの両方を変更します。
- 石鹸膜のような平均曲率フロー 。臨界点は最小曲面
- 曲線短縮フロー 、1次元の場合の平均曲率フロー
- ウィルモアフロー 、球のミニマックス外転のように
- 逆平均曲率フロー
本質的[編集]
固有の幾何学的フローは、埋め込みや浸漬に関係なく、 リーマン計量上のフローです。
- ポアンカレ予想の解法のようなリッチフロー 、およびリチャードS.ハミルトンの均一化定理の証明
- カラビフロー 、2次元および弦理論
- 山辺フロー 、リッチフローのいくつかの特殊なケース
フローのクラス[編集]
フローの重要なクラスは、 曲率フロー 、 変分フロー （一部の機能を極限化）、および放物型偏微分方程式の解として生じるフローです。 特定のフローは、以下のようにこれらの解釈のすべてを頻繁に認めます。
楕円演算子 Lが与えられると、放物線PDE は流れを生成し、流れの定常状態は楕円偏微分方程式の解です 。
方程式がは、ある汎関数Fのオイラー・ラグランジュ方程式であり、流れはFの勾配流として変分解釈され、流れの定常状態は汎関数の臨界点に対応します。
幾何学的フローのコンテキストでは、汎関数は多くの場合、ある曲率のL 2ノルムです。
したがって、曲率Kが与えられると、関数 、楕円演算子をLとして、オイラー・ラグランジュ方程式、および関連する放物線PDEの場合 。
リッチフロー 、 カラビフロー 、 山辺フローは、このようにして発生します（正規化されている場合もあります）。
曲率フローは、 体積を保持する場合と保持しない場合があります （カラビフローでは保持されるが、リッチフローでは保持されない）。 したがって、たとえば体積を固定することによって、フローを正規化することがよくある。
参考文献[編集]
- Bakas, Ioannis (14 October 2005). “The algebraic structure of geometric flows in two dimensions”. Journal of High Energy Physics 2005 (10): 038. arXiv:hep-th/0507284. Bibcode: 2005JHEP...10..038B. doi:10.1088/1126-6708/2005/10/038.
- Bakas, Ioannis (5 Feb 2007). Renormalization group equations and geometric flows. arXiv:hep-th/0702034. Bibcode: 2007hep.th....2034B.
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