横モード

電磁放射の横モードとは、放射の伝搬方向に対して垂直な面（すなわち横方向）における放射の特定の電磁場パターンのことである。横モードは、導波管に閉じ込められた電波やマイクロ波、光ファイバー内の光波やレーザーの光共振器内でも発生する。

横モードが発生するのは、導波管によって波に課される境界条件のためである。例えば、中空の金属導波管内の電波は、導波管の壁では接線電界振幅がゼロでなければならないため、波の電界の横方向パターンは壁の間に収まるものに制限される。このため、導波管がサポートするモードは量子化されます。許容されるモードは、与えられた導波路の境界条件に対してマクスウェルの方程式を解くことによって求めることができる。

モードの種類[編集]

自由空間またはバルクの等方性誘電体中の非誘導電磁波は、平面波の重ね合わせとして記述することができる；これらは、以下に定義するTEMモードとして記述することができる。

しかし、物理的な構造によって境界条件が課される導波管では、特定の周波数の波は横モード（またはそのようなモードの重ね合わせ）で記述することができる。これらのモードは一般に異なる伝搬定数に従う。2つ以上のモードが導波路に沿って同じ伝搬定数を持つ場合、その伝搬定数を持つ波を記述するために、1つ以上のモード分解が可能です（例えば、非中心ガウシアンレーザーモードは、以下に説明するエルミートガウシアンモードまたはラゲールガウシアンモードの重ね合わせとして等価的に記述することができます）。

導波管内のモードは次のように分類できる。

横電磁（TEM）モード

伝搬方向に電場も磁場もない。

横電場（TE）モード

伝搬方向に電場がない。伝搬方向には磁場しかないため、Hモードと呼ばれることもある（Hは磁場を表す従来の記号）。

横磁気（TM）モード

伝搬方向に磁場がない。伝搬方向には電界しかないため、Eモードと呼ばれることもある。

ハイブリッドモード

伝搬方向の電界と磁界がゼロでないモード。平面伝送線路§モードも参照。

均質で等方性の材料（通常は空気）で満たされた中空の金属導波管はTEモードとTMモードをサポートするが、TEMモードはサポートしない。同軸ケーブルでは通常、エネルギーは基本的なTEMモードで伝送される。また、他のほとんどの導体線路形式でも、通常はTEMモードが仮定されている。しかし、マイクロストリップは例外で、導体下の誘電体基板と導体上の空気の境界の不均一性により、伝搬波にかなりの縦波成分が含まれます。光ファイバーやその他の誘電体導波路では、モードは一般にハイブリッド型である。

矩形導波管では、矩形モード番号は TEmn や TMmn のようにモードタイプに付けられた 2 つの接尾辞番号で指定され、ここで m は導波管の幅方向の半波パターンの数、n は導波管の高さ方向の半波パターンの数である。円形導波管では円形モードが存在し、ここで m は円周に沿った全波パターンの数、n は直径に沿った半波パターンの数である。

光ファイバー[編集]

光ファイバのモード数は、マルチモード光ファイバとシングルモード光ファイバを区別します。ステップインデックスファイバのモード数を決定するには、V 数を決定する必要があります： ${\textstyle V=k_{0}a{\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}}$ $k_{0}$ は波数である、 , $a$ はファイバーのコア半径で $n_{1}$ and $n_{2}$ はそれぞれコアとクラッドの屈折率です。V パラメータが 2.405 未満のファイバーは基本モード（ハイブリッドモード）のみをサポートするため、シングルモード・ファイバーとなりますが、V パラメータが高いファイバーは複数のモードをサポートします。

磁場分布をモードに分解することは、多数の磁場振幅の測定値を、より少数のモード振幅に単純化できるため有用である。これらのモードは単純な規則に従って時間と共に変化するため、電界分布の将来の挙動を予測することも可能です。このように複雑な電界分布を単純化することで、光ファイバー通信システムの信号処理要件が緩和されます。

典型的な低屈折率コントラスト・ファイバーのモードは、通常LP（直線偏光）モードと呼ばれる。これは、場の解をスカラー近似し、あたかも1つの横方向場成分しか含まないかのように扱うものである。

レーザー[編集]

Cylindrical transverse mode patterns TEM(pl)

円筒対称性を持つレーザーでは、横モードパターンはガウシアンビームプロファイルとラゲール多項式の組み合わせによって記述される。モードはTEMplと表記され、pとlはそれぞれ半径方向と角度方向のモード次数を表す整数である。モードの中心から点(r,φ)(極座標)における強度は次式で与えられる：

I_{pl}(\rho ,\varphi )=I_{0}\rho ^{l}\left[L_{p}^{l}(\rho )\right]^{2}\cos ^{2}(l\varphi )e^{-\rho }

ここで、

ρ = 2 r 2 / w 2

,

L l p

Lp は次数 p、添字 l のラゲール多項式、w はガウシアンビームの半径に対応するモードのスポットサイズである。

p = l = 0では、TEM₀₀モードが最も低次である。レーザー共振器の基本横モードであり、ガウシアンビームと同じ形をしている。パターンはシングルローブで、モード間の位相は一定です。pが増加するモードは同心円状の強度を示し、lが増加するモードは角度分布したローブを示す。一般に、モードパターンには $2 l (p +1)$ 個のスポットがある(l = 0 の場合を除く)。 $TEM 0 i *$ モード, いわゆるドーナツモードは, 2 つの $TEM 0 i$ モード(i = 1, 2, 3)の重ね合わせからなる特殊なケースであり, 互いに 360°/4i 回転している.

モードの全体的な大きさは、ガウスビームの半径wによって決まり、ビームの伝搬に伴って大きくなったり小さくなったりしますが、モードは伝搬中もその一般的な形状を保ちます。高次モードは $TEM 00$ モードと比較して相対的に大きいため、レーザー共振器に適切な大きさのアパーチャーを配置することで、レーザーの基本的なガウシアンモードを選択することができます。

多くのレーザーでは、ブリュースター角窓のような偏光素子によって光共振器の対称性が制限されている。これらのレーザーでは、矩形対称の横モードが形成されます。これらのモードは $TEM mn$ と呼ばれ、mとnはパターンの水平方向と垂直方向の次数です。z軸に沿って伝搬するビームの点(x,y,z)における電界パターンは次式で与えられます。