1の余弦

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1の余弦（いちのよげん、英語: cos1rad^[1]）とは、実数の範囲で次の値をとる数のことである。

cos1rad = 0.5403023058…

一般にcos1radは無理数かつ超越数であることが知られている。

証明[編集]

例えば有名な題意として、「tan1°は無理数である」という題意が存在する。この題意は、高校数学における三角関数の加法定理を用いることで、背理法により証明することができる。

cos1radが無理数であることの証明をするにあたり、補題1-1を考える。

この補題も、三角関数の公式を用いることで証明可能となる。

チェビシェフの多項式を考えると、cosのn倍角は、cosのみの多項式で表すことが出来る。

和積公式「cos（n+2）θ+cosnθ = 2cos（n+1）θcosθ」を用いて、cos1°が有理数であると仮定すると、cosの30倍角を導く式により、「cos30°=√3/2」となり矛盾。よって補題1-1は示された。

次に、cos1radの導出方法について考える。

1radは弧度法表記で1ラジアン、即ち約57.295791°である。

$180^{\circ }=\pi$

この式から

${\dfrac {180}{\pi }}^{\circ }=1$

であることがわかる。この式は、

（180÷3.1415926535…）°=1≒57.295791°

であることを意味している。

この角度の余弦を計算すると、前述した値になる。

cos1radの証明に関しては、sin1rad（1の正弦）の証明方法同様、マクローリン展開を用いることで証明可能である。

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